ארכימדס




פורסם גם באתר מכון דוידסון (הזרוע החינוכית של מכון ויצמן)






כששומעים את השם ״ארכימדס״, אולי עולה בזיכרון ציטוט כגון ״תנו לי נקודת משען ואזיז את העולם״, או נזכרים בסיפור על חכם מזוקן מזנק מהאמבטיה ורץ עירום ברחובות העיר תוך זעקות ״אאוריקה!״. אבל עם כל הכבוד למעשיות העממיות האלה (שגם אליהם עוד אגיע) ארכימדס מופיע בכל רשימה של ״המתמטיקאים הדגולים ביותר בהיסטוריה״, נחשב לאבי הפיזיקה המתמטית, רשום בדברי ימי ההיסטוריה כמי שכתב את המאמר המחקרי הראשון ואף ידוע כמי שהפך לגיבור מלחמה מהולל בשנות ה-70 לחייו, כאשר בכוח שכלו והמצאותיו הגאוניות הגן במשך שנתיים וחצי על עירו קטנה מפני כל מאמצי הכיבוש של צבא האימפריה הרומאית העצום והמשוכלל.

לא מעט ידוע על ארכימדס, אבל עוד יותר מכך רב הנסתר. השילוב של ערפל הזמן יחד עם הנטייה האנושית להגזמה ומיתיזציה הופכים את ההתחקות אחריו למבצע בלשי של ממש. ידוע שהרקלידס חברו כתב ביוגרפיה שלו, אך כמו רוב כתביו של ארכימדס עצמו, גם ביוגרפיה זו נעלמה בחשכת ימי הביניים.

מאחר והרבה ממה שאנחנו יודעים על ארכימדס מגיע לא ממידע ישיר כי אם מהשתקפויות של השתקפויות, לא פעם המראות הללו שמבעדן אנו מנסים לראות מסתברות כמראות מעוותות. אפשר לראות זאת באופן סמלי אפילו בדימוי הויזואלי הנפוץ של ארכימדס. למשל באיור למטה, בו ניתן לראות משמאל את הפסל שהיווה השראה לאורך השנים לדמות המופיעה על אין ספור שטרות כסף, בולי דואר וציורים ופסלים, ומימין בול הדואר האיטלקי המנציח את החוקר הדגול ואחת מהמצאותיו, ומתחתיה את התמונה המופיעה במאגר התמונות ShutterStock תחת “Archimedes”.

 


archimedes archidamus




אלא שאם נבקר במוזיאון הארכיאולוגי הלאומי בנאפולי, ניגש לפסל המצולם בתמונה למעלה משמאל ונקרא את הלוחית שתחתיו, נגלה שזהו פסלו של ארכידמוס ה-III, מי שהיה מלך ספרטה במאה ה-4 לפנה״ס, ונאסף אל אבותיו 51 שנה לפני שארכימדס נולד. ארכידמוס, ארכימדס… למה להיטפל לפרטים.

לא הרבה אם כן ידוע על ארכימדס האיש, האם הייתה לו משפחה, מקום קבורתו או אפילו איך נראה. אבל החותם העצום שלו על עולם המתימטיקה והמדע יחד עם הרושם הכביר שהותירו המכונות שבנה מאפשרים לבנות תמונה של פועלו, גם אם לא תמיד קל להפריד בין מציאות לבדיה ובין היסטוריה למיתולוגיה. בשנים האחרונות גם נעשה שימוש בטכנולוגיה מתקדמת למבצעי שחזור חסרי תקדים של כתביו, כולל שימוש במאיצי חלקיקים ובמקורות אור בהירים פי 10 מיליון מפני השמש.



בין סירקוז לאלכסנדריה



ארכימדס נולד בשנת 287 לפני הספירה בעיר הנמל סירקוז שעל חופה המזרחי של סיציליה. סירקוז הייתה אז אחת מערי-המדינה היווניות החשובות ביותר, והמדינאי הרומאי קיקרו התייחס אליה בכתביו כאל ״הגדולה והיפה מבין ערי יוון כולה״. מיקומה של סירקוז היה אסטרטגי במיוחד, על נקודת הגבול המתוחה בין אימפריית קרתגו לבין הרפובליקה הרומאית.

קרתגו, כיום בתוניסיה, שלטה אז בחלקו הצפון אפריקאי של הים התיכון וראתה באי סיציליה חלק מהטריטוריה שלה. לעומתה רומא, שהייתה אז בתחילת התהליך הארוך שיהפוך אותה לאימפריה הגדולה ביותר סביב הים התיכון, ראתה בסיציליה הגובלת בה ממערב יעד טבעי ראשון להתפשטות וכיבוש. המובלעת ההלניסטית הקטנה שעל האי, עיר-המדינה היוונית סירקוז, עמדה להיקלע בין הפטיש הרומאי לסדן הקרתגני.



rome carthage syracuse
סירקוז, הרפובליקה הרומאית ואימפריית קרתגו במאה ה-3 לפנה״ס



אך בנערותו של ארכימדס טרם החל הענק הרומאי להתמתח. החזית הייתה שקטה יחסית והנער המבריק נשלח לרכוש את השכלתו במקום הטוב ביותר בעולם אז – אלכסנדריה שבמצרים. מרכז הידע והלימוד הגדול בעולם. אלכסנדר מוקדון רצה להנציח את עצמו, וייסד את העיר במקום בו היה רק כפר דייגים קטן פחות מ-60 שנה קודם לכן. בכמה עשורים היא הפכה לאחת הערים הגדולות והעשירות בעולם, הספרייה הגדולה שהוקמה בה הייתה מהגדולות בעולם העתיק וסביבה הוקם ה״מוזיאון״ – ״בית המוזות״, שהוקדש ליצירה ולימוד. גם הקהילה היהודית העירונית הגדולה בעולם נתקבצה אל העיר, ותרגום ה-70 המפורסם של התנ״ך בוצע בה.

אלכסנדריה משכה את האינטלקטואלים הגדולים של התקופה, וארכימדס יכל ללמוד אצל המאורות שלימדו אז במוזיאון. למשל עם אוקלידס, אבי הגיאומטריה ואחד המתימטיקאים הדגולים בהיסטוריה, או עם ארתוסטנס המתמטיקאי, האסטרונום והגיאוגרף הגאון שבין השגיו הרבים לא רק הבין שלכדור הארץ אכן צורת כדור, אלא גם חישב את היקפו וקוטרו בדיוק מעורר השתאות לתקופתו.

עם שובו לעיר הולדתו, בתום לימודיו, שקע ארכימדס למה שהיה בעיניו העיסוק הנאצל ביותר – מתימטיקה ופיזיקה טהורות. בכל כתביו (והכתבים אודותיו) הוא מופיע כממוקד במציאת הנשגב בעיניו: שיפור ההבנה האנושית של המתמטיקה ושל חוקי הפיזיקה. אך המלומד הצעיר לא יכל רק להסתגר בסדנה שלו ולהתעמק בגיאומטריה, כיוון שגם למלך סירקוז, היירו ה-II, היו תכניות משלו לגאון ששמו החל ללכת לפניו.


בורג ארכימדס



מה שפרסם את ארכימדס הצעיר עם שובו הייתה המצאה מהפכנית שהביא איתו ממצרים: משאבת המים הראשונה שנראתה באירופה, ושיכולתה לשאוב גם מים בוציים או מלוכלכים הפכו אותה לכלי חיוני לאורך ההיסטוריה. ״ברגי ארכימדס״ מסתובבים ושואבים מים בכל העולם עד היום – מסוללות אדמה בהולנד, דרך מתקני טיהור שפכים בארה״ב ועד להשקיית שדות בעולם השלישי.




בורג ארכימדס
שאיבת מים באמצעות בורג ארכימדס בגבול מונגוליה-קזחסטן (מימין למעלה) ובקינדרדייק, הולנד (משמאל). מימין למטה – אופן שאיבת המים באמצעות סיבוב הידית



המתקן כלל בורג גדול הנתון בתוך צינור חלול. בחלקו העליון של המתקן היתה ידית שאפשרה לסובב את הבורג, וחלקו התחתון היה טבול במים. עקב המבנה הלולייני של הבורג נוצרו תאים קטנים בינו לבין דופן הצינור, וכשסובבו את הבורג המים נלכדו בתאים ונדחקו במעלה הצינור עד שהגיעו לקצהו העליון ונשפכו החוצה.

המתקן נקרא אמנם על שמו של ארכימדס אך הומצא מאות שנים לפני כן. לוחות עתיקים בכתב יתדות מהמאה ה-8 לפנה״ס מתארים את אחד משבעת פלאי העולם העתיק, הגנים התלויים של בבל, כמושקים על ידי ברגים מסתובבים. ארכימדס מעולם לא טען בכתביו לבעלות על ההמצאה, אך כנראה שזה לא הפריע לבני סירקוז להתגאות בבן עירם המבריק ולקרוא למתקן על שמו. משם השימוש התפשט ברחבי אירופה והשם התקבע. המתח שבין אמת ובדיה, מיתולוגיה ומציאות ליווה את ארכימדס עוד בחייו.



כמה גרגרי חול נדרשים כדי למלא את היקום?



בין המדען למלך התפתחה ככל הנראה מערכת יחסים מיוחדת, כיוון שאת עבודתו ״מונה החול״ הוא פותח בפניה ישירה לבנו של המלך: ״יש שיגידו, המלך גלון, שמספר גרגירי החול בעולם הוא אינסופי״. ומשם ממשיך אל מה שנחשב כיום למאמר המחקר המדעי הראשון בהיסטוריה.

הביטוי ״חול״ בתרבויות העתיקות שימש לא פעם כמטפורה ל״רב מכדי לספור״. המילה מופיעה בתנ״ך 12 פעמים בשימוש זה, וגם האיליאדה שופעת בשימוש זה במילה. ארכימדס רצה להוכיח שאין גבול לכוחן של המתמטיקה והגאומטריה, ולכן שניתן לספור באמצעותן אפילו את מספר גרגירי החול שיידרשו למלא את כל היקום. ״רב מכדי לספור״? לא עבור המתימטיקה.

לצורך כך ניסה ארכימדס לחשב הן את גודלו של היקום והן את מספר גרגרי החול הנדרשים למילויו. חישוביו הם בו זמנית שגויים לחלוטין, תוצאה בלתי-נמנעת של הטכנולוגיה שעמדה לרשותו, ויחד עם זאת גאוניים ושאפתניים באופן שקשה לתאר. ביאור החידושים המתמטיים והמחקריים שארכימדס מבצע ב-8 הדפים הקצרים הללו יכפיל את אורך הכתבה הזו.

הנה דוגמה אחת לחשיבתו המהפכנית. ביוונית ספרו אז באמצעות אותיות, בדומה לשיטה העברית בה המספר 124 למשל נכתב כ-״קכ״ד״. הדבר הגביל מאד את העבודה במספרים גדולים, מאחר והמספר הגדול ביותר שהיה אפשר לספור עד אליו, מיריאד (μυριάς), היה בעל הערך 10,000, בדומה ל״רבבה״ העברי. ארכימדס המציא לכן לצורך חישוביו שיטת ספירה שכמוה העולם טרם ראה, המאפשרת לו לספור עד 1 ו-80 קוואדריליון אפסים אחריו (myriad myriads). אי אפשר להפריז בתיאור הפער ביכולת החישובית לפני ואחרי המצאת המערכת המספרית הזו. אפילו מספר האטומים ביקום הוא אפסי ביחס למספרים שניתן לבטא בשיטה הארכימדית החדשה.

בשלב הבא הניח ארכימדס באגביות שהארץ היא כדור הסובב סביב צירו ומקיף את השמש, בהתאם לתיאוריה של אריסטרכוס, ואז ביצע ניסויים בכדי למדוד את קוטר כדור הארץ ואת המרחק אל השמש. לא היה אפשרי לקבלת תוצאות נכונות באמצעי המדידה של זמנו, אבל הניסויים מבריקים. בדרך הילוכו הוא גם ייסד את מדע הפסיכופיזיקה (שיקבל את שמו רק 2,100 שנה מאוחר יותר), כאשר הביא בחשבון את השפעת גודל אישון העין של הצופה על תוצאת אחד מהניסויים.



sand reckoner image
חישוב זווית השמש כפי שהיא נראית מכדור הארץ, כחישוב עזר להסקת גודל היקום
| מקור: תרגום של Thomas L. Heath מ-1897 ל The Sand Reckoner of Archimedes



אאוריקה! חידת כתר הזהב



אחד הסיפורים האיקוניים ביותר אודות ארכימדס נסב על כתר הזהב של המלך היירו ה-II. הסיפור מופיע לראשונה ב״על הארכיטקטורה״ של הסופר הרומאי ויטרוביוס, בשנת 20 לפנה״ס. ויטרוביוס כותב שהיירו רצה לאחר הכתרתו להקדיש לאלים כאות תודה כתר מזהב טהור, המתכת היקרה ביותר. הוא שקל במדויק את כמות הזהב ומסר אותה לידי הצורף הטוב ביותר בסירקוז, ובמועד הנקוב חזר אליו אמן המתכת עם יצירת המופת שהכין. ליתר ביטחון שקל המלך את הכתר בכדי לראות שהצורף לא שמר לעצמו חלק מהזהב, ואכן משקלו של הכתר היה זהה למשקל הזהב שנמסר.

אלא שבמהרה נפוצה שמועה לפיה הצורף הפריש לעצמו חלק מהזהב, ובמקומו השתמש במשקל זהה של כסף, מתכת פחותה בערכה. הצורף הכחיש כמובן והמלך לא ידע איך להכריע האם הכתר מזהב טהור או רק מצופה. מאחר והיה מדובר בחפץ שהוקדש לאלים, אסור היה לפגוע בו לצורך הבדיקה.

היירו שלח לקרוא לאדם החכם בממלכה, מסר לידיו את הכתר והשביע אותו למצוא פתרון מבלי לפגוע ביצירה. בציור להלן, אחד מני רבים הדומים לו, אפשר לראות את המלך מוסר את הכתר לידיו של החכם הקשיש. דא עקא שארכימדס היה צעיר מהמלך ב-20 שנה…




archimedes and king hiero



על פי הסיפור הגה ארכימדס בבעיה ללא הצלחה, ומשעייף הלך לבית המרחץ הציבורי ונכנס לאמבט שהיה מלא עד סופו. ,כשהבחין במים העולים ומתחילים לגלוש החוצה, ממשיך ומספר ויטרוביוס, הכתה בארכימדס ההבנה שהפתרון מול עיניו, וברוב התרגשותו זינק החוצה מהאמבט ורץ עירום ברחובות העיר כל הדרך לביתו בעודו זועק ״אאוריקה!״ (“ευρηκα” – ״מצאתי!״ ביוונית). רגע ה״אאוריקה!״ המקורי, שכבר לפני הספירה מסתבר הפך למיתולוגיה.

כשהגיע ארכימדס לביתו הוא הכין שני מטילים זהים במשקלם, האחד מכסף והשני מזהב, הכניס כל אחד מהם לכלי מלא מים עד שפתו, ומדד את כמות המים שדחק כל מטיל החוצה מהכלי. כך הפך ארכימדס לאדם הראשון שמדד משקל סגולי, ועד היום מוגדר משקלם הסגולי של חומרים ביחס לזה של מים.

ארכימדס גילה שמשקלו הסגולי של זהב כפול מזה של כסף. במילים אחרות, זהב תופס רק מחצית מהנפח ביחס למשקלו, לכן ידחק מחצית מהמים מאשר ידחק כסף באותו משקל. מצויד בידע החדש הוא מיהר לארמון (יש לקוות שכבר התלבש) וחזר על הניסוי בפני המלך, הפעם עם הכתר בכלי מים אחד וגוש זהב זהה במשקלו בכלי שני. המלך יכל מיד לראות שהכתר דוחק החוצה מים בכמות גדולה יותר מגוש הזהב שבאותו המשקל, והמסקנה מכאן הייתה שהכתר מכיל גם כסף שמגדיל את נפחו ביחס למשקלו.

המלך היה מאושר שנמצא פתרון. הצורף? מעט פחות.

האם אכן רץ ארכימדס עירום ברחובות העיר תוך זעקות ״אאוריקה?״. עד שהגיע הסיפור לויטרוביוס, שנולד 131 שנה אחרי מותו של ארכימדס, נוספו כנראה קישוטים והפרזות. יש להניח שהסצנה לא קרתה מעולם, מאחר ואין לה כל תיעוד מתקופתה. כך או כך, בין עשרות התמונות שנקבל מחיפוש ״ארכימדס אאוריקה״ בגוגל, נתקשה כרגיל לאתר בחור צעיר מזנק מהאמבט, כפי שהיה אז ארכימדס, ולא קשיש מזוקן ומקריח.



eureka archimedes




ייתכן שפרטי הסיפור הופרזו, אך חיבוריו המהפכניים של ארכימדס מראים שהוא אכן עסק רבות בנושא משקלם הסגולי של חומרים ובאפשרות לחשבו באמצעות טבילה במים. אם היה אדם אחד בעולם העתיק שהיה עשוי לפתור את חידת כתר הזהב של היירו ה-II, היה זה ארכימדס.



סירקוזיה – האוניה הגדולה בעולם



ארכימדס צלל כל כולו אל מדע הגופים הטובלים במים. הוא הסתקרן מכוח העילוי של המים, המאפשר לגופים כבדים מהאוויר לצוף, ומחקריו הביאו אותו לכתוב את שני החלקים של עבודתו פורצת הדרך ״אודות גופים צפים״, לקבוע את מה שידוע עד היום כעיקרון ארכימדס ולהפוך להיות מייסד מדע ההידרודינמיקה.

היירו ה-II התרשם כל כך מארכימדס שהוא הטיל עליו את תכנון וביצוע המשימה המונומנטלית של בניית הספינה הגדולה ביותר בעולם – הסירקוזיה, שהירו רצה שתהיה גדולה פי 50 מספינות המלחמה של העולם אז. הספינה, שהייתה מבצע הנדסי-ימי חסר תקדים, תוכננה כמתנה גרנדיוזית לשליט מצרים, תלמי ה-III. הסרטון הבא אודות הספינה תואם את תיאוריו של הסופר היווני אתנאוס על המטען העצום שנשאה, שכלל אורווה ובה 20 סוסים, מקדש עם פסלים לאפרודיטה, ספריה, חדר כושר, כמעט 2,000 נוסעים ובליסטראה עצומה בירכתיים.





מאות אנשים עבדו על הסירקוזיה במשך שנים, ועם השקתה הסתבר שחישוביו של ארכימדס צלחו: למרות משקלה העצום ואלפי הטונות שהועמסו עליה, הספינה צפה היטב. לא היה נמל גדול מספיק בכל סיציליה בכדי לאפשר לה לעגון, ולכן נאלצה  להפליג מייד לאלכסנדריה. הסירקוזיה עשתה רושם כביר עם הגעתה למצרים, ובנו של המלך תלמי התמלא קנאה. ברבות השנים, כשגדל והפך למלך בעצמו, בנה תלמי ה-IV את ה״טסראקונטרס״, ספינת משוטים שהייתה אפילו גדולה יותר, אבל שפלוטרכוס כותב שהיתה מגושמת מכדי להפליג ושימשה רק כדי להרשים אורחים. ייתכן שהיה עוזר לתלמי לו היה לו את ארכימדס שיתכנן עבורו את שגעונותיו.


The Syracusia
הסירקוזיה | מקור: אמן לא ידוע, 1798



תנו לי נקודת משען ואזיז את העולם



תחום הנדסי נוסף שארכימדס עסק בו היה גלגלות ומנופים. בעבודתו פורצת הדרך ״על שיווי המשקל של מישורים״, ניסח ארכימדס את חוקי המנוף ופיתח שיטות מתמטיות למציאת מרכז הכובד של גופים. מעבר לכך שבעבודתו הניח את הבסיס לכל ענף הסטטיקה והמציא את הגלגלת הכפולה, גם האופן בו עבד היה מהפכני. הוא היה הראשון שניסה לפתח את חוקי הפיזיקה לא על ידי ביצוע מדידות וניסויים ואז לנסות ולהסיק חוקיות מתוכם, אלא ההיפך – על ידי הנחת מספר חוקים בסיסיים, או ״אקסיומות״ ביוונית (״ἀξίωμα״ – ״דבר בעל ערך״), ומהם לנסות לפתח ולהוכיח את כל התופעות הנצפות.

יחלפו עוד קרוב ל-2,000 שנה בטרם יחזור אייזק ניוטון לשיטותיו של ארכימדס ביצירת המופת שלו ״פרינקיפיה״, הנחשבת לאחד החיבורים המדעיים החשובים בהיסטוריה. ניוטון ידע היטב מי פרץ את הדרך, והשתמש ב״פרינקיפיה״ במודע במחוות כמו הקריאה להנחות היסוד “Axiomatas” או כתיבת ״Q.E.D״ בסוף כל הוכחה (״Quad Erat Demonstratum״ – ״מה שהיה להוכיח״ בלטינית) כמחווה ל-״Ο.Ε.Δ״ של ארכימדס (״מ.ש.ל״ אך ביוונית).

ההיסטוריון היווני פלוטרכוס מספר על מכתב ששלח ארכימדס להיירו עם תום עבודתו על החיבור המדעי בנושא גלגלות ומנופים. במכתב התרברב ארכימדס בפני המלך שאין משקל בעולם שאין באפשרותו להזיז בכוח ידיו בלבד אם רק תהיה לו נקודה להישען עליה. ״לו היה עוד כדור ארץ״, הוא כתב, ״הייתי יכול לעמוד עליה ולהזיז את שלנו״. ההכרזה נשמעה להיירו מופרזת. ״הוכח לי, אם כך״ הוא ענה לו.

ביום ההדגמה הוזמן המלך לנמל, מספר פלוטרכוס, ושם ראה את ארכימדס ישוב על כיסא בקצה המזח ובידו חבל המחובר למערכת גלגלות ונמתח אל ספינה שבנייתה הסתיימה, עמוסה במטען מלא ועל סיפונה מלחים רבים. ״ואז״, מספר פלוטרכוס ״כאשר הוא אינו מראה מאמץ, מחזיק בידו גלגלת בלבד, משך ארכימדס בהדרגה את החבל, והספינה על כל מטענה החליקה קדימה כאילו הפליגה על פני מים״. כאשר ראה זאת המלך הוא ״נדהם כל כך, שמייד ציווה על ארכימדס לבנות לו באמנותו מנגנונים המתאימים לכל אופני המצור, הן להתקפה והן להגנה״.

מכונות המלחמה של ארכימדס לא באו לידי ביטוי בימי חייו של היירו, אך זמנן יגיע.




archimedes pulley Pentaspastos_scheme.svg
ארכימדס המציא את הגלגלת הכפולה, המאפשרת הכפלת כוח שוב ושוב ככל שמוסיפים גלגלות. באיור –
פנטאספאסטוס, מנוף המאפשר למפעילו להרים משקל גדול פי 40 ממה שהיה יכול להרים בלעדיו | מקור:  אריק גאבה



המתקפה על סירקוז



אחרי 55 שנות שלטון, נפטר המלך היירו ה-II והוריש את כסאו לנכדו בן ה-15. היירו הקפיד על נאמנות לרומא, אך בעקבות התבוסה הרומאית ההיסטורית בקרב קאנאי החליט נכדו האימפולסיבי שהצד הנכון להמר עליו הוא קרתגו. החלטה זו הובילה לכך שסירקוז נקרעה במשך שנה בין הפלגים הפרו-רומאיים לבין הנוטים לקרתגו, ולבסוף קיבלו התושבים את הרע שבשני העולמות: מצד אחד סיעת תומכי קרתגו פוזרה והמלך נרצח, ומאידך רומא איבדה את אמונה בשלטון המקומי והחליטה לשלוח את המצביא המהולל מרקוס מארסלוס בראשות כוח צבאי-ימי גדול לכבוש את העיר.

מרקוס מארסלוס היה גיבור מלחמה כפול, נושא אות הכבוד הצבאי הגבוה ביותר ברומא (הספוליה אופימה) שבכל תולדות האימפריה זכו בו 3 אנשים בלבד. לא נראה היה שלסירקוז הקטנה יש סיכוי רב נגד המפקד המנוסה העומד בראש צבא רומאי משוכלל ועדיף בעל מומחיות בכיבוש ביצורים.

לרשות מארסלוס עמד כוח גדול, חמוש בכלי נשק יחודיים למתקפה מהים. ההיסטוריון היווני פוליביוס כותב על ספינות מלחמה אימתניות מצוידות בשכלולים כמו הסמבוקה, סולם ענק שצידו האחד נטוע בספינה וצידו השני מונמך אל החומה, על מגדלי מצור צפים המצוידים בווי תפיסה מיוחדים ואיילי נגח, ועל כלי משחית נוספים שנראו בלתי ניתנים לעצירה. אלא שבני סירקוז היו חמושים בנשק שהסתבר כמסוכן ואפקטיבי יותר: מתימטיקאי קשיש, כעת כבר בשנות ה-70׳ לחייו.

פוליביוס הקדיש את כל הכרך השמיני של יצירתו ״ההיסטוריות״ לקרב על סירקוז, ופותח במאה הספינות עמוסות הלוחמים של מרסלוס מפליגות לדרכן: ״מובטח היה להם שבתוך חמישה ימים תוכרע המערכה, מבלי דעת את יכולותיו של ארכימדס ומבלי לשער שגאונותו של אדם אחד תשיג יותר מכל צבא״.

עוד ממרחק הופתעו ספינות הצי הרומאי ממטר מדויק של סלעים במשקל של עד 10 כיכרות (מעל רבע טון), שנורו מבליסטראות ששיכלל ארכימדס כדי שיוכלו לקלוע במהירות לכל מרחק. עד אז טווח הירי של בליסטראה היה קבוע וככל שמטרה התקרבה נדרשה גרירה מסורבלת של כלי הנשק אחורנית, מה שהאט את קצב הירי והקשה מאד לקלוע במטרה נעה.

 


The siege of syracuse
ארכימדס מפקד על הבליסטראות של סירקוז | תומס ראלף ספנס, The Siege of Syracuse, 1895



ספינות שעלה בידן להתקרב עד כדי השענת סולמות על החומה התקבלו במטח כידוני ברזל בלתי פוסק שהפיל חללים רבים. ארכימדס קדח בחומות העבות מנהרות בקוטר של כ-10 ס״מ, ובצידן השני התקין רובי קשת רבי עוצמה (״עקרבים״), עם מיתר הנמתח על ידי קפיץ פיתול ומאפשר ירי חיצי ברזל מסיביים.






Archimedes-scorpion
ה״עקרבים״ שירו דרך המנהרות הצרות שנקדחו בחומת סירקוז



בעוד החיילים הנואשים נמלטים לירכתיים, עשרות מנופי ענק שהוסתרו בראש החומות הסתובבו כך שניצבו כעת מעל לחרטום הספינות. המשך התיאור אצל פוליביוס, כמו גם אצל היסטוריונים רומאיים אחרים (כמו למשל ב״מרסלוס״ של פלוטרכוס) נשמע מוגזם לחלוטין. אלא שצוות משולב מהמחלקות למתמטיקה ולהנדסה מאוניברסיטת דרקסל שבפילדלפיה חקר את הממצאים, הטכנולוגיה והחומרים שהיו בידי ארכימדס באותה עת, ובמאמר שפרסם לא רק שהגיע למסקנה שהתיאורים נכונים, אלא אף שיחזר אותם במודל שבנה.

כותב פוליביוס: ״ שרשרת שבקצה יד ברזל השתלשלה מקורת המנוף ואחזה בחרטום הספינה. מצידה הפנימי של החומה הופעל אז לחץ אשר הניף את הספינה, וכאשר שדרת הספינה עמדה זקופה באוויר שוחררה יד הברזל באמצעות חבלים וגלגלות והספינה נשמטה בבת אחת. חלק מכלי-השיט נפלו על צידם, חלקם התהפכו ורובם, בנופלם מגובה רב, צללו למים״. פוליביוס מוסיף ומצטט את המצביא הרומאי המריר שאמר, אחרי שנסוג: ״ארכימדס השתמש בספינותי בכדי לצקת מי-ים אל גביעי היין שלו״.

ערוץ ההיסטוריה של HBO השתמש במסקנות החוקרים בכדי לשחזר בסרטון תלת-ממד את המכונה, שהתפרסמה כ״טופר הברזל של ארכימדס״.



iron claw sequence
״טופר הברזל״ של ארכימדס | איור באדיבות Danai



בסופו של דבר שאריות הכוח הרומאי נסוגו בבושת פנים והבינו שכיבוש העיר בכוח לא יצלח. במקום זאת הם נערכו למצור ממושך על העיר בים וביבשה.

 

״קרן המוות״



חלק מההיסטוריונים מתארים כלי נשק אחרון שהופעל נגד הספינות שנותרו. כותב למשל דיאו קאסיוס ב״היסטוריה רומאית״ שלו: ״ולבסוף באופן שלא ייאמן שרף ארכימדס את הצי הרומאי כולו, באשר מיקד את אלומת השמש באמצעות מראה כלשהי, אשר הציתה מן האוויר להבה גדולה ששרפה בספינות עד אשר כילתה אותן״.

התיאורים מוטלים בספק מכל בחינה שהיא. שלושת ההיסטוריונים הראשונים והנחשבים לאמינים, פוליביוס, ליוויוס ופלוטארכוס ציינו אמנם שארכימדס שרף חלק מספינות הצי של מארסלוס, אך לא דיברו על מראה, נשק שלא נודע מאז לא בסירקוז ולא באף מקום אחר בעולם העתיק. קשה לראות איך מתאפשרת הצתת אש המחייבת את מיקוד האור לאורך זמן על נקודה אחת כאשר מדובר בחפץ מרוחק, מיטלטל, דינמי ולעיתים רטוב כספינה במהלך קרב. מתיאור הקרב גם עולה שהבליסטראות האפקטיביות בלמו את המתקפה ביום הרחק מחומות העיר, וכדי לחמוק מאימתן בוצעה המתקפה על החומות בלילה, מה שלא ידידותי במיוחד לנשק סולארי.

הסברה היא שארכימדס השתמש במטענים דמויי בקבוקי תבערה שנורו על ידי בליסטראות קטנות, או שאולי הדבר בוצע באמצעות ירי חיצי שרף בוער. אך סיפור ״מראת קרן המוות״ היה טוב מכדי לוותר עליו. כמו מיתוסים ארכימדיים אחרים הוא כיכב בסיפורים ויצירות אמנות רבות, וכל כמה מאות שנים נוספו עוד מעללים לסיפור.

במהלך 300 השנים האחרונות ניסו לא מעט חוקרים להתמודד עם הסוגיה הבוערת האם הדבר היה כלל אפשרי. החל בקומט דה בופון הצרפתי, שהצליח ב-1747 להבעיר קורות עץ ממרחק 50 מטר באמצעות מערך של 128 מראות קעורות, דרך תכנית הטלוויזיה הפופולרית Mythbusters שניסתה ונכשלה פעמיים בשחזור ביצועי הנשק המשוערים, ועד לצוות ממחלקת ההנדסה באוניברסיטת MIT שנחל תוצאות מעורבות. סיכום יפה של הפיזיקה המעורבת והניסיונות השונים ניתן למצוא בדו״ח מעניין של משרד האנרגיה האמריקאי. 

 


ioannis sakkas 1975 archimedes solar weapon
70 מלחים יווניים מעלים באש מודל של ספינה רומאית, ממרחק 50 מטר, באמצעות לוחות נחושת ממורקים המחזירים את אור השמש | מתוך ניסוי של ד״ר יואניס סאקאס היווני, 1973
"Death Ray" experiment - close up





על הדברים החשובים באמת



פיתוחיו ההנדסיים של ארכימדס, חידושיו הטכנולוגיים והדיפת המתקפה הרומאית הקנו לו תהילת עולם. אך מבחינתו היו כל אלה הסחת דעת לדברים החשובים באמת – התעמקות ופיתוח שיטות מתמטיות, בכל כתביו שנשתמרו לא מזכיר ארכימדס במילה את המכונות והמנגנונים שבנה, ובמקום זה מתעמק ומפתח טכניקות פורצות דרך לחישוב שטחים, נפחים ומרכזי כובד של צורות ובפתרון בעיות וחידות מתמטיות מורכבות. כפי שכתב אודותיו פלוטרכוס: ״כל חיבתו ושאפתנותו נתונות היו להגות טהורה, שאין בה כל התייחסות לצרכים הגסים של החיים״. ההיסטוריונים מספרים שאפילו על קברו ציווה ארכימדס להציב פסל אבן של ההוכחה המתמטית החביבה עליו, עם כדור וגליל בעלי גובה וקוטר זהים.

רבות מעבודותיו של ארכימדס אבדו בחשכת ימי הביניים, אך מהמעטות ששרדו, 11 בלבד ובאופן חלקי, עולה כי בכל תחום מתמטי בו עסק הוא פרץ את הדרך והקדים את זמנו במאות ולעיתים אפילו אלפי שנים.

כיום אנו יודעים שבין השאר היה ארכימדס הראשון כנראה לבצע חישובים בקומבינטוריקה; פיתח את המתמטיקה של ספירלות, של כדורים, גלילים וחתכים קוניים; חישב את הקבוע המתימטי פיי (π) – לא מדד כי אם חישב – בדיוק של אלפיות, ואף הגה את מה שהוא קרא לו ״השיטה״ – שימוש בגדלים בלתי ניתנים לחלוקה לפתרון בעיות מתחום החשבון האינפיניטסימלי כמעט 2,000 שנה לפני שהחשבון האינטגרלי והדיפרנציאלי פותח במלואו על ידי לייבניץ וניוטון. לשנים, נודע לייבניץ בציטוט ״המבין את ארכימדס יעריך פחות את הישגיהם של גדולי הדור כיום״.

חלק מגוף העבודה המקורי נתגלה רק ב-100 השנים האחרונות, בעקבות גילוי ״הפלימפססט של ארכימדס״ ומבצע השחזור שלו, שהיה מהגדולים בהיסטוריה. משמעותה המילולית של המילה ״פלימפססט״ ביוונית היא ״גירוד מחדש״ (παλίμψηστος). הכוונה לגירוד מחדש של קלף, חומר יקר המציאות המושג מעיבוד עור של עיזים או כבשים להכנת מצע לכתיבת מגילות באמצעות דיו. אפשר לראות לא מעט סמליות בכך שבמהלך ימי הביניים יצירות מופת קלאסיות רבות גורדו מהקלפים עליהם היו כתובות בכדי לפנות מקום לכתיבת ספרי תפילה. מאידך, באופן פרדוקסלי דווקא זו היה לא פעם הדרך היחידה בה יכלו לשרוד יצירות אלה, כנוסעות סמויות דרך תלאות ההיסטוריה, ולהגיע לימינו.

 


archimedes palimpsest final
משמאל
: הידיעה הנרגשת על גילוי הפלימפססט, ממהדורת 16.7.1907 של הניו יורק טיימס. במרכז: הדף המקורי מתוך הפלימפססט, שזייפנים במאה ה-20 הוסיפו לו ציור ״אותנטי״ מימי הביניים והזיקו לו עוד. מימין: אותו הדף לאחר אנליזה בשלל אורכי גל, מאינפרה-אדום דרך אולטרה סגול ועד לקרינת סינכרוטרון , מקור האור העוצמתי ביותר במערכת השמש. האנליזה חשפה את הכתב הסמוי מתחת לספר התפילה מהמאה ה-13. באדיבות מוזיאון וולטרז.

 


תקצר היריעה להתחיל לספר כאן את סיפורו המופלא של הפלימפססט של ארכימדס ושל מבצע השחזור, מפגש הצמרת בין חזית המדע של המאה ה-3 לפנה״ס ובין חזית המדע של המאה ה-20. ספרים שלמים נכתבו על גלגוליו הרבים והמפתיעים של הטקסט, ועל איך שוחזרו כתביו המגורדים של ארכימדס מבעד לשכבות של דיו, צבע, דבק ועובש. די לציין שנדרשו לא פחות מארבע שנים של עבודה מאומצת רק בכדי להסיר את הדבק שנוסף ברשלנות לשדרת הספר אחרי גילויו, על ידי האספן הפרטי שרכש אותו. קצת יותר מהסיפור אפשר לראות ולקרוא באתר הפלימפססט, וטעימה יש גם בהרצאת TED הזו של פרופ׳ וויליאם נואל שזכתה למעל מיליון צפיות (כתוביות בעברית).

 





סופו של ארכימדס



המערכה על סירקוז נסתיימה אמנם במפלה לתוקפים, אך בסופו של דבר לא היה לעיר סיכוי לנוכח עדיפותה המספרית העצומה של רומא. פלוטרכוס כותב שמקץ מצור של כשנה וחצי ניצלו הרומאים את ערב החגיגות המסורתי לאלה דיאנה בכדי לטפס על קטע חומה שנשמר ברשלנות ולפרוץ לעיר. ״מלחמת יום כיפור״ של סירקוז.

מארסלוס ידע שהנשק יקר הערך ביותר בעיר הוא מוחו של ארכימדס, והורה לחיילים להישמר לבל יפגעו בו. אך לא כך התגלגלו הדברים – ארכימדס חוסל במכת חרב על ידי אחד החיילים הרומאיים במהלך 24 השעות המסורתיות שקיבלו חיילי רומא לפשוט על עיר ולבזוז אותה אחרי כיבושה.

היסטוריונים שונים תיארו את סצינת מותו של ארכימדס במקומות והקשרים מגוונים, אך תמיד באותו הסגנון. בחלק מהתאורים ארכימדס צייר שרטוטים גיאומטריים על החול והתפרץ על חייל שדרך עליהם וכך עורר את חמתו; באחרים החייל חמד מכשירי מדידה שנראו לו כשלל נאה, וארכימדס התנגד ואמר שהוא זקוק להם; ויש גם תיאורים בהם החייל מנסה לקחת את ארכימדס למארסלוס אך הוא מסרב כי טרם סיים חישוב עליו עמל וכך עורר את חמת השליח. הדבר היחיד שברור מהתיאורים המגוונים הוא שהמדען והמתמטיקאי הדגול סיים את חייו ביום פלישת הצבא הרומאי לסירקוז.



Archimedes_before_his_death_with_the_Roman_soldier,_Roman_mosaic
מוזאיקה רומאית מהמאה ה-2 לספירה המתארת את ארכימדס המסרב להפסיק את חישוביו כדי לבוא עם חייל רומאי. מעניין לראות שבניגוד לעת המודרנית בה מתואר ארכימדס כישיש מקריח גם בהתרחשויות בהן היה צעיר, האמן הרומאי בחר להציג את ארכימדס כצעיר גם בסצינת מותו בה היה כבר בן 75 | מקור:
מתוך ספרו של ג.מ. רוברטס



כ-140 שנה מאוחר יותר ניצל הסופר והמדינאי קיקרו את מינויו הדיפלומטי בסיציליה בכדי לצאת ולחפש את קברו של ארכימדס הנערץ עליו. בזכרונותיו הוא מספר (עמ׳ 187) על קושי רב במציאת המקום, שהיה ״מגודל כולו בשיחים ועשבים ושאפילו תושבי סירקוז הכחישו כל ידע על קיומו. רק בזכות עמוד שעליו כדור וגליל ושהזדקר מעל הצמחיה יכלתי לזהות את הקבר״. דיווח זה משנת 75 לפני הספירה הוא פריט המידע האחרון שבידינו אודות קברו של ארכימדס.

תיירים המגיעים כיום לסירקוז מוזמנים לשזוף את עיניהם ב״קברו של ארכימדס היווני״ כפי שמודיע השלט הניצב ליד מה שהוא לא קבר, לא יווני ובוודאי לא קשור בשום צורה לארכימדס. מדובר בחלל תפילה רומאי שתוארך למאה הראשונה לספירה, מאות שנים אחרי מותו של בעל הקבר הנטען.

 

 

grave of archimedes
״קברו של ארכימדס״ בפארק הארכיאולוגי ניאפוליס בסירקוז. למעשה נחפר מאות שנים אחרי מותו | צילום:
קארלו פאגאלי

 

 


הפתעה אחרונה (לעת עתה)



גדולתו של ארכימדס יצרה סביבו הילה שעודדה נטייה להגזמה אצל היסטוריונים, עוד בחייו ובוודאי אחרי מותו. שרשרת הישגיו הכבירים בתחומים רבים כל כך הזינה עם חלוף השנים תעשיה של סיפורים מופרזים. לכן אפשר היה להבין את הספקנות כלפי פרק 21 של ״דה לה רפובליקה״ לקיקרו, המתאר שני מנגנונים מופלאים מעשה ידי ארכימדס שמארסלוס הביא עימו כשלל מכיבוש סירקוז. קיקרו מספר שכאשר כיוונו בהם את היום והשעה המכשירים יכלו על פי המתואר לתאר במדויק את מקומם ותנועתם בשמיים של השמש, הירח וחמשת כוכבי הלכת.

תכנון ובניית מכשיר מחשב מכני שכזה דורשות לא רק ידע מתמטי ואסטרונומי מעמיק, אלא גם טכנולוגיה מתקדמת של גלגלי שיניים וגיר דיפרנציאלי שלמיטב הידיעה לא הייתה בידי היוונים בעת ההיא.

אלא שבשנת 1901 נמשה עצם עתיק לא מזוהה עשוי אבן ומתכת, מתוך שרידי אונית משא שטבעה כ-2,300 שנה קודם לכן ליד חופי האי היווני אנטיקיתרה. כעבור שנה וחצי הבחין אחד הארכיאולוגים במוזאון הלאומי במה שנראה כקצה של גלגל שיניים חלוד נחבא בעצם הלא מזוהה. בחינה מעמיקה יותר החלה לחשוף שזהו למעשה הוא חפץ מורכב להפליא. במשך עשורים סרק פרויקט בינלאומי גדול את המנגנון באמצעות CT, קרינת רנטגן, קרינת גמא ורדיוגרפיות נוספות, והצליח לשחזר את המבנה, שהסתבר שכלל עשרות גלגלי שיניים וגיר דיפרנציאלי בטכנולוגיה שניתן למצוא שוב רק במכשירים שנבנו במאה ה-18, כעבור כמעט 2,000 שנה.



Antikythera
מימין
: מנגנון אנטיקיתרה אחרי שנוקה ככל האפשר, באדיבות המוזיאון הארכיאולוגי הלאומי, אתונה. משמאל: שחזור המנגנון על ידי Mogi Vicentini, המראה שהוא נועד לדמות את תנועת השמש והירח ולחזות ליקויים בדייקנות. למטה: סרטון של מודל משוחזר אחר בפעולה. מהרזולוציה של הסרטון נראה שהוא הוכן זמן לא רב אחרי הכנת מנגנון אנטיקיתרה עצמו…



חשיפת מנגנון אנטיקיתרה הפכה לפתע למתקבלים על הדעת את סיפורו המופרז לכאורה של קיקרו אודות מחשביו האנלוגיים של ארכימדס.






מי יודע אלו הפתעות ותגליות נוספות ממתינות לנו מצד ארכימדס, הגאון הגדול של העת העתיקה, ומי שלא מפסיק להשפיע ואף להפתיע גם בעת המודרנית.